“从发射到返回，每一步都依赖数学。轨道力学、数值积分、最优控制，这些在登月过程中都显得格外重要。先从最基础的开始，”
林燃走向黑板，拿起粉笔，画出一条椭圆：“我们从开普勒定律开始。行星和航天器沿椭圆轨道运行，遵循面积定律和周期定律。”
他写下开普勒第一定律的数学表达：r=\frac{p}{1+e\cosheta
“r是径向距离，p是半通径，e是偏心率，这为我们提供了两体问题的解析解。”
林燃接着再加上一个圆，象征着地球、月球和航天器的三体系统：“但现实中，我们面对的是限制性三体问题。
地球和月球的引力同时作用于航天器，解析解不存在。
我们需要数值方法来逼近轨迹。”
他写下运动方程。
我知道各位内心会有疑问：“三体问题的数值解，这是计算密集型任务。
我们实际上在登月过程中，想要计算出一个合适的结果会非常困难。
这就涉及到对数值计算方法的优化。
为了解决这些方程，我们使用了四阶Runge-Kutta方法，它在精度和效率间取得平衡。”
“我们依赖IBM的7094计算机，它的性能有限。
很多时候计算一条完整轨迹需要数小时，我们不得不优化代码，减少浮点运算。”
“有一次，我们的模拟运行了三天，我发现步长设置过小，浪费了时间。调整后，计算时间缩短了一半。”
林燃擦去黑板，重新写到：“接下来是轨迹优化。我们需要最小化燃料消耗，同时确保航天器在正确时间到达月球。”
“现在要用到的是最优控制理论，这几年围绕最优控制理论，有非常多的出色成果。
我讲一个和航天有关的，我们定义了一个代价函数，它是燃料消耗的积分，形式为：”
J =\int_0^T|u(t)|dt
“其中u(t)是推力控制向量。我们使用变分法求解，得到欧拉-拉格朗日方程。”
林燃画出简单例子：“类似布拉希斯托克龙问题，我们寻找最优路径。”
林燃继续道：“但实际任务中，方程非线性，我们用数值方法，如直接射击法，将轨迹离散化，转化为非线性规划问题。”
从开普勒与三体问题，到数值积分方法再到燃料优化的最优控制理论，最后是
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